Numpy で行列積を計算する方法〜np.dot関数を使う（動画あり）

機械学習やディープラーニングでは行列積の計算を頻繁に行います。
行列積とは何か。またそれをNumpyで行うにはどうすれば良いかを説明しています。

Numpyで行列計算
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Numpyで行列計算

行列積について

例えば次のようなAとBの行列を例にします。
$$
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\end{pmatrix} \\
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
b_{31} & b_{32} \\
\end{pmatrix} \\
$$
AとBの行列積は次のようにします。
$$
AB=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
b_{31} & b_{32} \\
\end{pmatrix} \\
$$
具体的に各要素の計算は次のようになります。
$$
AB=\begin{pmatrix}
a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21}+a_{13} b_{31} \hspace{20px}
a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22}+a_{13} b_{32} \\
a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} +a_{23} b_{31} \hspace{20px}
a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} +a_{23} b_{32}\\
\end{pmatrix}
$$
これをまとめると次のようになります。
$$
AB=\begin{pmatrix}
\displaystyle \sum_{k=1}^3 a_{1k}b_{k1}\hspace{20px} \sum_{k=1}^3 a_{1k}b_{k2}\\
\displaystyle \sum_{k=1}^3 a_{2k}b_{k1}\hspace{20px} \sum_{k=1}^3 a_{2k}b_{k2}
\end{pmatrix}
$$

具体例
$$
AB=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2\\
1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
2 & 1\\
2 & 1 \\
\end{pmatrix} \\
$$
$$
=\begin{pmatrix}
0\times2+1\times2+2\times2 \hspace{20px}
0\times1+1\times1+2\times1\\
1\times2 + 2\times2 +3\times2 \hspace{20px}
1\times1 +2\times1 +3\times1\\
\end{pmatrix}
$$
$$
=\begin{pmatrix}
6& 3\\
12 & 6\\
\end{pmatrix}
$$

上記のようなメチャクチャ面倒な計算をNumpyのdot()関数を使うと簡単に計算できます！

行列の積

行列の準備

array1 = np.arange(9).reshape(3,3)
print(array1)
array2 = np.arange(9,18).reshape(3,3)
print(array2)

結果
[[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]]

[[ 9 10 11]
[12 13 14]
[15 16 17]]

Numpyのdot関数で行列積を求められます。

np.dot(array1,array2)

結果
array([[ 42, 45, 48],
[150, 162, 174],
[258, 279, 300]])

要素どうしの積

単純に要素どうしの積は次のようにします。

array1 * array2

結果
array([[ 0, 10, 22],
[ 36, 52, 70],
[ 90, 112, 136]])

ゼロ行列作成

ゼロ行列の作成と要素が1だけの配列の作成は次のようになります。

# ゼロ行列の作成
print(np.zeros((2,3),dtype=np.int64))
# 要素が1だけの配列を作成
print(np.ones((2,3),dtype=np.float64))

転置

転置とは行と列を入れ替えることです。
転置を使うことで行列積を行えるようになる場合があります。

$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
\end{pmatrix}
$$
転置を行うと次のようになります。
$$
A^T=\begin{pmatrix}
1& 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{pmatrix}
$$

転置の例

a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print(a)
print(a.T)


転置の例

a = np.array([[0,1,2],[1,2,3]])
b = np.array([[0,1,2],[1,2,3]])
# print(np.dot(a,b))
print(b.T)
print(np.dot(a,b.T))