OpenCV 画像の微分（動画あり） | IT工房

OpenCV 画像の微分

微分について
画像の微分
1. 1次微分によるエッジ検出
具体的な画像の微分の例
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微分について

微分とはある瞬間の変化量のことです。
関数f(x)のxについて微分するとは、xの小さな変化で関数f(x)の値がどれくらい変化するかということです。
関数f(x)を微分することで、xでの接線の傾きが求められます。
微分とは、限りなく0に近い区間の傾きを求めることです。

このことを $\frac{df(x)}{dx}$ として表します。
これはf(x)のxについての微分係数（微分）といいます。
そして、微分係数はxの値における接線の傾きを意味します。
xの小さな変化量hを $\lim_{h \rightarrow 0}$ のように表します。

式で表すと次のようになります。

$$
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$

画像の微分

連続的な値の微分は上の式で求まりますが、画像の場合は連続的な値ではなく離散的な値になっています。
つまり、個別の値を持った画素が2次元で並んでいる状態です。
このように離散型の数値では通常の数値微分の式が使えません。それは少し想像していただくとわかるように限りなく0に近づけたhという値の設定は連続値にしか使えないからです。

画像の画素は2次元に分布しています。ここでは話をシンプルにするためにまず1次元で考えてみます。
直感的に言うと、横に画素が1列に並んでいる状態です。

1次微分によるエッジ検出

数値微分の式から、ここではhの値を1または、-1に固定します。
そうすると通常の微分の式から次の式が求まります。

$$
\frac{df(x)}{dx}=f(x+1)-f(x)\\
\frac{df(x)}{dx}=f(x)-f(x-1)
$$

あるいは次のようにすることもできます。
$$
\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+1)-f(x-1)}{2}
$$

この式は次のカーネルを適用した場合と同じになります。
x方向
$$
F_x=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

y方向
$$
F_y=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
$$

これが1次微分によるエッジ抽出の考え方です。

具体的な画像の微分の例

X = np.array([[0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0]],dtype=float)
print(X.shape)
plt.subplot(1,3,1); plt.imshow(X, cmap='gray')
plt.show()
# カーネル
W1 = np.array([[-0.5, 0, 0.5]])
# 畳み込み
C1 = np.copy(X)
for i in range(3,13,1):
  C1[0,i-2] = np.dot(X[0,i-3:i],W1[0,:])
plt.subplot(1,3,3); plt.imshow(C1, cmap='gray')
plt.show()

結果
水平方向だけ画素がある直線の例

カーネルに微分の値を設定することでエッジ部分が引き立ちます。

img_bgr =cv2.imread('mika2.jpg',0)
img = cv2.cvtColor(img_bgr, cv2.COLOR_GRAY2RGB)
kernel2 = np.zeros((3,3))
kernel2[0,0] = 1
kernel2[1,0] = 2
kernel2[2,0] = 1
kernel2[0,2] = -1
kernel2[1,2] = -2
kernel2[2,2] = -1
img_kel2 = cv2.filter2D(img,-1,kernel2)

plt.figure(figsize=(6, 6), dpi=72)
plt.imshow(img_kel2)
plt.show()

結果